Drgania Fale akustyczne Fale harmoniczne Równanie falowe

Analiza fal złożonych

Przyjrzyjmy się drganiu poprzecznemu struny. Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta, a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony, jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych końcach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze trzy rodzaje drgań jakie powstają w strunie o długości $ L $ zamocowanej na końcach zostały pokazane na Rys. 1.

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Widzimy, że dla kolejnych drgań $ {L=\frac{1}{2}\lambda _{{1}}} $, $ {L=\lambda _{{2}}} $, $ {L=\frac{3}{2}\lambda _{{3}}} $. Możemy więc zapisać ogólny związek na długość fali powstającej w strunie

(1)

$ \lambda _{{n}}=\frac{2L}{n} $

gdzie $ n = 1, 2, 3, ... $ Korzystając z tego, że prędkość fali $ {v=\lambda /{T={\lambda f}}} $ oraz z równania Prędkość fal i równanie falowe-( 7 ) na prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) możemy obliczyć częstotliwość fal stojących w strunie

(2)

$ f_{{n}}=\frac{n}{2L}v=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu }} $

Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową, a pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.

Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące złożeniem tonu podstawowego $ (n = 1) $ i wyższych harmonicznych $ (n = 3, 5, 7) $ o różnych amplitudach jest pokazane na Rys. 2.

Rysunek 2: Fala wypadkowa będąca złożeniem czterech fal harmonicznych.

Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus). Zagadnienie przedstawienia dowolnego drgania okresowego jako sumy drgań harmonicznych ujmuje twierdzenie Fouriera, które mówi, że

Definicja 1:

Dowolne drganie okresowe o okresie $ T $ możemy przedstawić jako kombinację liniową (sumę) drgań harmonicznych o okresach danych wzorem $ T_{n} = T/n $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

Dotyczy to dowolnej funkcji okresowej więc można na przykład skonstruować za pomocą fal sinusoidalnych (które są wszędzie zakrzywione) przebieg piłokształtny, który jest złożony z odcinków prostych.

$: Złożenie {OPENAGHMATHJAX()} n = 10 {OPENAGHMATHJAX} drgań harmonicznych postaci {OPENAGHMATHJAX()}{\sin({n\omega t})/n}{OPENAGHMATHJAX} (wykres górny) oraz pięć pierwszych drgań składowych (wykres dolny)$

Rysunek 3: Złożenie $ n = 10 $ drgań harmonicznych postaci $ {\sin({n\omega t})/n} $ (wykres górny) oraz pięć pierwszych drgań składowych (wykres dolny)

Zadanie 1: Piszczałka organowa

Treść zadania:

Innym przykładem jest piszczałka organowa zamknięta, w której źródłem dźwięku jest drgające powietrze. Jeżeli na krawędź otwartego końca piszczałki skierujemy strumień powietrza to można w niej wytworzyć falę stojącą. Na otwartym końcu piszczałki powstaje strzałka, a na jej końcu zamkniętym węzeł. Spróbuj wykreślić, drganie podstawowe i trzy pierwsze drgania harmoniczne jakie powstają w piszczałce zamkniętej. Przyjmując, że długość piszczałki wynosi L, oblicz długości tych fal. Jaki ogólny związek opisuje długości fal stojących w piszczałce zamkniętej?

Symulacja 1: Fourier - składanie fal

Pobierz symulację

Poznaj jak wygenerować fale o różnych kształtach dodając funkcje sinus i cosinus (funkcji harmonicznych). Wygeneruj fale i zmierz i długość oraz okres. Sprawdź jak zmiana amplitudy składowych harmonicznych zmienia falę.

Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado